Cerdas Matematika

Selasa, 08 Oktober 2013

Jenis Bagun datar

Bangun datar merupakan sebutan untuk bangun dua dimensi. Perhatikan gambar macam-macam bangun datar dibawah ini.

Berdasarkan gambar terdapat 8 jenis bangun datar, yaitu :

Lingkaran merupakan bangun datar yang terbentuk dari himpunan semua titik persekitaran yang mengelilingi sebuah titik asala dengan jarak yang sama, dimana jarak tersebut dinamakan r atau radius atau jari-jari. Untuk lebih jelasnya baca artikel Rumus Lingkaran.
Persegi Panjang merupakan bangun datar yang memiliki sisi berhadapan sama panjang dan memiliki empat titik sudut. Untuk lebih mengenal persegi panjang anda dapat baca artikel Rumus Persegi Panjang.
Segitiga merupakan bangun datar yang dibatasi oleh tiga buah sisi dan memiliki tiga buah titik sudut. Untuk lebih mengenal segitiga baik dari jenis-jenis segitiga maupun rumus yang berhubungan dengan segitiga, baca artikel selengkapnya pada Rumus Mencari Luas Segitiga Lengkap.
Persegi merupakan persegi panjang yang semua sisinya sama panjang, baca artikel selengkapnya Rumus Persegi.
Jajar Genjang merupakan bangun datar yang berbentuk segi empat yang sisi-sisinya sepasang – sepasang sama panjang dan sejajar, baca artikel selengkapnya pada Menghitung Luas dan Keliling Jajaran Genjang.
Layang-layang merupakan bangun datar segi empat yang salah satu diagonalnya memotong tegak lurus sumbu diagonal lainnya. Pelajari artikel selengkapnya Cara Menghitung Luas dan Keliling Layang-layang.
Trapesium merupakan bangun datar berbentuk segi empat yang memiliki tepat sepasang sisi yang sejajar, selengkapnya baca Rumus Luas dan Keliling Trapesium Lengkap.
Belah Ketupat merupakan bangun datar segi empat yang semua sisinya sama panjang dan kedua diagonalnya saling berpotongan tegak lurus. Jangan lupa baca Rumus Menghitung Luas dan Keliling Belah Ketupat Lengkap.

Itulah Jenis-Jenis Bangun Datar Lengkap, semoga dapat dipahami. Untuk informasi selengkapnya baca artikel masing-masing dari tiap jenis bangun datar. Selamat Belajar

Sifat-Sifat Bangun Datar

Bangun datar yang merupakan sebutan untuk bangun-bangun dua dimensi memiliki sifat masing-masing yang berbeda satu sama lain. Berikut ini penjelasan mengenai sifat-sifat bangun datar.
macam2 bangun ruang

Persegi Panjang

memiliki empat sisi serta empat titik sudut
memliki dua pasang sisi sejajar yang berhadapan dan sama panjang
memiliki empat buah sudut yang besarnya 90° ( siku-siku )
memliki dua diagonal yang sama panjang
memiliki dua buah simetri lipat
memliki simetri putar tingkat dua

Persegi

memiliki empat sisi serta empat titik sudut
memiliki dua pasang sisi yang sejajar serta sama panjang
keempat sisinya sama panjang
keempat sudutnya sama besar yaitu 90° ( sudut siku-siku )
memiliki empat buah simetri lipat
memiliki simetri putar tingkat empat

Jajar Genjang

memiliki empat sisi dan empat titik sudut
memiliki dua pasang sisi yang sejajar dan sama panjang
memiliki dua buah sudut tumpul dan dua buah sudut lancip
sudut yang berhadapan sama besar
diagonal yang dimiliki tidak sama panjang
tidak memiliki simetri lipat
memiliki simetri putar tingkat dua

Belah Ketupat

memiliki empat buah sisi dan empat buah titik sudut
keempat sisinya sama panjang
dua pasang sudut yang berhadapan sama besar
diagonalnya berpotongan tegak lurus
memiliki dua buah simetri lipat
memiliki simetri putar tingkat dua

Layang-Layang

memiliki empat sisi dan empat titik sudut
memiliki dua pasang sisi yang sama panjang
memiliki dua sudut yang sama besarnya
diagonalnya berpotongan tegak lurus
salah satu diagonalnya membagi diagonal yang lain sama panjang
memiliki satu simetri lipat

Trapesium

memiliki empat sisi dan empat titik sudut
memiliki sepasang sisi yang sejajar tetapi tidak sama panjang
sudut-sudut diantara sisi sejajar besarnya 180°

Segitiga

mempunyai 3 sisi dan tiga titik sudut
jumlah ketiga sudutnya 180

Lingkaran

mempunyai satu sisi
memiliki simetri putar dan simetri lipat tak berhingga

Sekian Informasi tentang Sifat-Sifat Bangun Datar, semoga dapat bermanfaat. Baca juga artikel Jenis-Jenis Bangun Datar Lengkap.

Pengertian dan Metode Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Rumus Matematika yang kali ini menjadi topik pembahasan kita yaitu persamaan kuadrat, semoga penjelasan tentang persamaan kuadrat yang saya berikan kali ini dapat dengan mudah dipahami.

Persamaan Kuadrat merupakan suatu persamaan polinomial berorde 2 dengan bentuk umum dari persamaan kuadrat yaitu y=ax²+bx+c dengan a≠0 dan koefisien kuadrat a merupakan koefisien dari x², koefisien linear b merupakan koefisien dari x sedangkan c adalah koefisien konstan atau biasa juga disebut suku bebas. Nilai koefisien a,b dan c ini yang menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.

a menentukan seberapa cekung/cembung, jika nilai a>0 maka parabola akan terbuka keatas. Begitu juga sebaliknya jika a<0 akan="" kebawah.="" li="" maka="" parabola="" terbuka="">

b menentukan posisi x puncak parabola atau sumbu simetri dari kurva yang dibentuk, dengan posisi tepatnya -b/2a.

c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk dengan sumbu y atau pada saat x=0.

Rumus Kuadratis
Rumus ini biasa disebut juga dengan rumus abc, disebut demikian karena digunakan untuk menghitung akar-kar persamaan kuadrat yang tergantung nilai-nilai a, b dan c.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ dengan pembuktian sebagai berikut.
Dari bentuk umum persamaan kuadrat,

$ax^2 + bx + c = 0 \,\!$

bagi kedua ruas untuk mendapatkan a = 1

$x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0,\,\!$

Pindahkan $\frac{c}{a}$ ke ruas kanan

$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} \,\!$

sehingga teknik melengkapkan kuadrat bisa digunakan di ruas kiri.

$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a} \,\!$

Pindahkan $-\frac{b^2}{4ac}$ ke ruas kanan

$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} -\frac{c}{a} \,\!$

lalu samakan penyebut di ruas kanan.

$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \,\!$

Kedua ruas diakar (dipangkatkan setengah), sehingga tanda kuadrat di ruas kiri hilang, dan muncul tanda plus-minus di ruas kanan.

$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}$

Pindahkan $-\frac{b}{2a}$ ke ruas kanan

$x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}$

sehingga didapat rumus kuadrat

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}$

Pada rumus abc diatas terdapat istilah diskriminan atau determinan yaitu notasi dalam tanda akar b²-4ac yang terkadang dinotasikan dengan huruf D.
Persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat memiliki sebuah atau dua buah akar yang berbeda dimana akar-akarnya dapat berupa bilangan riil atau bilangan kompleks. Terdapat 3 kemungkinan kasus :

Diskriminan bersifat positif, maka akan terdapat dua akar berbeda dan keduanya riil. Untuk persamaan kuadrat yang koefisiennya berupa bilangan bulat dan diskriminanya adalah kuadrat sempurna maka akar-akarnya adalah bilangan rasional, atau sebaliknya dapat pula merupakan bilangan irasional kuadrat.
Diskriminan bernilai 0 maka akan terdapat eksak satu akar dan riil. Hal ini terkadang disebut sebagi akar ganda, dimana nilainya adalah
Diskriminan bernilai negatif maka tidak terdapat akar riil melainkan terdapat 2 buah akar kompleks yang satu sama lain merupakan konjuget kompleks.

$x_+ = \frac{-b}{2a} + i \left ( \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \right )$ dan $x_- = \frac{-b}{2a} - i \left ( \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \right )$

Jadi dapat disimpulkan akan diperoleh akar-akar berbeda jika dan hanya jika D≠0 dan akan diperoleh akar-akar riil jika dan hanya jika D>0.
Terdapat 3 cara dalam menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu :

Memfaktorkan, untuk bentuk persamaan kuadrat ax²+bx+c=0 maka kita harus menentukan dua buah bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya b dan dikalikan menghasilkan c.
Melengkapkan kuadrat sempurna, merubah bentuk persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna.
Menggunakan rumus abc.

contoh :
1. Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat x²-5x+6=0 !
Jawab :
x² – 5 x + 6 = 0 (cara memfaktorkan)
<=> ( x-2 ) ( x-3 ) = 0
<=> x- 2 = 0 atau x – 3 = 0
<=> x = 2    atau x = 3
Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {2, 3}

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x² + 2x – 15 = 0 !
Jawab :         x² + 2x – 15 = 0 (cara melengkapkan kuadrat sempurna)
x² + 2x = 15
Agar x²+ 2x menjadi bentuk kuadrat sempurna maka harus ditambah dengan kuadrat dari setengah koefisien (½ .2)² = 1
Dengan menambahkan 1 pada kedua ruas, diperoleh :
x² + 2x + 1 = 15 + 1
<=>     (x + 1)² = 16
<=>     x + 1 = ± √16
<=>     x + 1 = ± 4
<=>     x + 1 = 4 atau x + 1 = -4
<=>     x = 4 – 1 atau x = -4 -1
<=>     x = 3 atau x = -5
Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {3, -5}

3. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan x² + 4x – 12 = 0 !
Penyelesaian :      (menggunakan rumus abc)
Berdasarkan persamaan diketahui bahwa a =1, b = 4, c = -12 selanjutnya koefisien tersebut kita masukkan dalam rumus abc.
x_1,2 = (- b ± √b² – 4ac) /2a
<=>     x_{1,2 =(}- 4 ± √42 – 4 . 1. (-12) )/2.1
<=>     x_{1,2 = (}- 4 ± √16 + 48)/2
<=>     x_{1,2 = (}- 4 ± √64)/2
<=>     x_{1,2 = (}- 4 ± 8)/2
<=>     x_{1,2 = (}- 4 + 8) /2          atau        x_{1,2 = (}- 4   - 8 )/2
<=>     x₁ = 2                        atau       x₂ = -6
jadi himpunan penyelesaiannya adalah {2,-6}

4. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5?
Jawab :
Cara 1 :    Memakai faktor, dengan memasukkan nilai akar kedalam rumus    (x-x₁) (x-x₂) = 0
x₁ = 2 dan x₂ = 5
Maka   (x-x₁) (x-x₂) = 0
<=>     (x-2) (x-5) = 0
<=>     x² – 7x + 10 = 0
Jadi persamaan kuadratnya x² – 7x + 10 = 0
Cara 2   : Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar yaitu    x₂ – (x₁+x₂)x + x₁.x₂ = 0
x₁ = 2 dan x₂= 5
Maka   x₂ – (x₁+x₂)x + x₁.x₂ = 0
Dengan (x₁ + x₂) = 2 + 5 = 7
x₁. x₂ = 2.5 = 10
Jadi persamaan kuadratnya x² – 7x + 10 = 0
Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar diperoleh dari penjumlahan dan perkalian rumus abc, perhatikan penjelasan berikut ini.
x₁ + x₂ = -b + √ b2 – 4ac   + – b – √ b2 – 4ac
           2a                              2a

=   -2b/a

=     -b/a
x_{1 .}x₂ = -b + √ b2 – 4ac   . – b – √ b2 – 4ac
                              2a                           2a

= ( b² – (b² – 4 ac)) / 4a²
= 4ac /4a²
= c/a

Dari rumus umum persamaan kuadrat y=ax²+bx+c=0, jika kita mencari akar-akar menggunakan pemfaktoran b diperoleh dari penjumlahan akar-akar dan c diperoleh dari perkalian akar-akar ( baca kembali metode penyelesaikan persamaan kuadrat diatas) sehingga kita dapat memperoleh pernyataan

x² – (x₁ + x₂) x + x₁.x₂ = 0

Sekian dulu penjelasan mengenai Persamaan Kuadrat, semoga bermanfaat dan jika sobat menemukan ada yang kurang pas, mohon koreksinya ya….. dan jangan lupa baca juga Materi Bilangan Kompleks atau Fungsi Eksponen dan Logaritma.

Mengenal Aljabar lebih Dalam

Matematika merupakan suatu ilmu yang pasti semua orang temui ketika mereka duduk dibangku sd, smp, sampai sma. Kalo masalah perguruan tinggi tergantung jurusan yang diambil masing-masing. Nah, mau ga mau kita juga harus mempelajari materi dalam matematika itu. Kali ini yang kita bahas yaitu mengenai Ajabar. Apa itu Aljabar?

Aljabar merupakan salah satu cabang matematika yang mempelajari penyederhanaan serta pemecahan masalah menggunakan simbol yang menjadi pengganti konstanta atau variabel.

Unsur-Unsur Aljabar

1. Variabel, konstanta, faktor

Variabel/peubah adalah lambang pengganti suatu bilangan yang nilainya belum diketahui dengan jelas, biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, …, z.

Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar dan berupa bilangan serta tidak memuat variabel.

Jika terdapat suatu bilangan a dan dapat diubah menjadi a=p.q dimana a, p, dan q bilangan bulat maka p dan q disebut faktor-faktor dari a.

contoh : 7x+3y+8x-5y+6

variabel : x dan y

konstanta : 6

7x dapat diuraikan menjadi 7x=7x.1 atau 7x=7.x sehingga faktor dari7x yaitu 1, 7, x, 7x

2. Suku Sejenis dan Suku Tak Sejenis

Suku merupakan variabel koefisien atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan dengan operasi jumlah atau selisih.

Suku-suku sejenis merupakan suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama. contoh : 5x dan -3x, 2a² dan a², y dan 6y

Suku-suku tak sejenis merupakan suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama.

contoh : 2x dan 3x², -7y dan -x²

Suku satu merupakan bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah dan selisih. contoh : 2x, 4y, …

Suku dua merupakan bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih. contoh : 2x-4y, a²-5, …

Suku tiga merupakan bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih. contoh : 2x²+3x-1, 3x+4y-xy, …

Operasi Hitung Pada Aljabar

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

Operasi ini hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis.

2. Perkalian

Pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif a(b+c)=ab+ac dan a(b-c)=ab-ac. Sifat ini juga berlaku untuk bentuk aljabar.

3. Perpangkatan

Dalam bilangan bulat Operasi perpangkatan dapat diartikan sebagai perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal yang sama berlaku untuk aljabar, pada perpangkatan aljabar koefisien tiap suku ditentukan menurut segitiga pascal.

4. Pembagian

Hasil dari pembagian dua buah bentuk aljabar diperoleh dengan terlebih dahulu menentukan faktor sekutu dari masing-masing selanjutnya melakukan pembagian pada pembilang dan penyebutnya.

5. Substitusi Pada Bentuk Aljabar

Nilai dari suatu bentuk aljabar dapat diperoleh dengan mensubstitusikan sembarang bilangan pada variabel bentuk aljabar tersebut.

6. KPK dan FPB Bentuk Aljabar

Dalam menentukan KPK dan FPB bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menyatakan bentuk-bentuk aljabar menjadi perkalian faktor-faktor primanya.

Pecahan Bentuk Aljabar

1. Menyederhanakan Bentuk Pecahan Aljabar

Pecahan bentuk aljabar dikatakan mempunyai bentuk paling sederhana apabila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor persekutuan kecuali 1 serta penyebutnya ≠0. Untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dapat dilakukan dengan membagi pembilang dan penyebutnya dengan FPB dari keduanya.

2. Operasi Hitung Pecahan Aljabar Dengan Penyebut Suku Tunggal

a. Penjumlahan

Penjumlahan dari pecahan aljabar dilakukan dengan cara yang sama seperti halnya pecahan biasa, yaitu dengan menyamakan penyebut dari pecahan dengan cara mencari KPK nya kemudian baru dijumlahkan. Perhatikan contoh berikut.

b. Perkalian dan Pembagian

Perkalian dari pecahan aljabar tidak jauh berbeda dengan perkalian pecahan biasa. Perhatikan contoh berikut :

c. Perpangkatan Pecahan Bentuk Aljabar

Perpangakatan merupakan perkalian berulang dengan bilangan yang sama, hal tersebut juga berlaku dengan perpangkatan bentuk aljabar.

Itulah sedikit ulasan tentang Aljabar, semoga dapat membantu dalam pemahaman mengenai materi alajabar. Untuk materi lebih lanjut akan saya berikan pada artikel berikutnya. Dan sebagai tambahan pengetahuan baca juga artikel sebelumnya Materi Matriks Lengkap Beserta Contohnya.

Pengertian dan Metode Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat

Sebelumnya telah dibahas materi matematika tentang persamaan kuadrat dan sekarang kita akan membahas tentang pertidaksamaan kuadrat. Apakah antara persamaan dan pertidaksamaan kuadrat terdapat perbedaan prinsip yang signifikan? Untuk lebih jelasnya mari kita pelajari bersama materi lengkap pertidaksamaan kuadrat.

Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang memiliki variabel paling tinggi berpangkat dua. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x adalah

(i) ax²+ bx + c > 0

(ii) ax²+ bx + c≥0

(iii) ax²+ bx + c < 0

(iv) ax²+ bx + c≤0

dimana a, b, c dan x elemen bilangan riil dan a≠0

Sebelum kita bahas tentang metode penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, kita akan ulas kembali tentang interval/selang serta grafik fungsi kuadrat yang akan membantu kita dalam menentukan himpunan penyelesaian pertidak samaan kuadrat nantinya.

1. Interval/Selang

Interval merupakan himpunan bagian bilangan riil. Sebuah interval dapat dilukiskan pada garis bilangan yang berbentuk ruas garis(segmen garis) dan terdapat tanda lebih tebal pada titik yang bersesuaian.

2. Grafik Fungsi Kuadrat

Suatu Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan persamaan y=ax²+bx+c dengan a, b, c elemen bilangan riil dan a≠0. Grafik fungsi kuadrat ini memiliki sifat :

Jika a>0 grafik fungsi terbuka ketas, dan sebaliknya jika a<0 fungsi="" grafik="" kebawah.="" span="" terbuka="">
Mmemotong sumbu y jika x=0 dan memotong sumbu x jika y=0.
Titik potong terhadap sumbu x ditentukan oleh suatu nilai.

Diskriminan (D=b²-4ac) berlaku ketentuan :

D>0 maka parabola memotong sumbu x di dua titik.
D=0 maka parabola menyinggung sumbu x.
D<0 li="" maka="" memotong="" parabola="" sumbu="" tidak="" x.="">

Macam-macam Grafik fungsi kuadrat dapat ditentukan berdasarkan a>0 dan D<0 a="" d="" dan="" definit="" dibawah="" disebut="" ini.="" jelasnya="" jika="" lebih="" maka="" nbsp="" negatif.="" p="" perhatikan="" positif="" tabel="" termasuk="" untuk=""> interval

Langkah-langkah menyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat :
1. Rubahlah pertidaksamaan kuadrat menjadi persamaan kuadrat
2. Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut seperti telah dijelaskan pada materi persamaan kuadrat.
3. Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat pada garis bilangan.
4. Tentukan mana yang termasuk daerah + dan mana yang termasuk daerah -.
5. Tuliskan Hp sesuai soal yang diminta.
contoh :
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari $\inline \dpi{100} x^{2}$ – 2x – 24 < 0
Jawab:
$\inline \dpi{100} x^{2}$ – 2x – 24 < 0
(x -6)(x +4) < 0
x1 = 6 x2 = -4
Apabila diletakkan ke garis bilangan, daerah yang berharga negatif adalah -4 < x < 6 sehingga daerah tersebut merupakan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan $\inline \dpi{100} x^{2}$ – 2x – 24 < 0
2. Tentukan himpunan penyelesaian x²– 2x – 3 ≤ 0

Jawab :
a. Bentuk menjadi persamaan x²– 2x – 3 = 0

b. Difaktorkan (x – 3) (x + 1) = 0,
maka x = 3 atau x=-1

c. Berdasarka soal daerah yang diminta ≤0 berarti yang bertanda -, sehingga berdasarkan gambar HP {x│-1 ≤ x ≤ 3}.

Sampai disini dulu materi tentang pertidaksamaan kuadrat semoga dapat bermanfaat. Serta jangan lupa baca juga artikel sebelumnya yang telah saya berikan yaitu berkaitan dengan Aljabar, sehingga anda dapat lebih mudah dalam memahami aljabar lanjutan.

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Matematika mempunyai materi yang sangat luas, tetapi satu sama lain mempunyai kaitan. Jadi dalam memahami matematika sebaiknya jangan tanggung-tanggung, walaupun sebenarnya ilmu apapun jika kita memahaminya dengan mantap maka hasilnya juga akan mantap. Kali ini materi yang akan kita bahas yaitu persamaan dan pertidaksamaan linear.

1. Persamaan Linear

Persamaan linear merupakan sebuah persamaan aljabar dimana tiap sukunya mengandung konstanta atau perkalian konstanta dengan tanda sama dengan serta variabelnya berpangkat satu. Persamaan ini dikatakan linear karena jika kita gambarkan dalam koordinat cartesius berbentuk garis lurus. Sistem persamaan linear disebut sistem persamaan linear satu variabel karena dalam sistem tersebut mempunyai satu variabel. Bentuk umum untuk persamaan linear satu variabel yaitu y=mx+b yang dalam hal ini konstanta m menggambarkan gradien garis serta konstanta b adalah titik potong garis dengan sumbu-y.

Jika dalam sistem persamaan linear terdapat dua variabel maka sistem persamaannya disebut sistem persamaan linear dua variabel yang mempunyai bentuk umum Ax+By+C=0 dimana bentuk umum ini mempunyai bentuk standar ax+by=c dengan konstanta ≠0.

Dalam mencari titik potong suatu gradien kita gunakan rumus sebagai berikut :

Titik potong dengan sumbu x maka $x = \frac{y}{m} + c,\,$

Titik potong dengan sumbu y maka $y = mx + b,\,$

Untuk persamaan linear yang memiliki lebih dari dua variabel memiliki bentuk umum :

$a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b.$ dimana a1 merupakan koefisien untuk variabel pertama x1, begitu juga untuk yang lainnya sampai variabel ke-n.

Untuk lebih memahami masalah persamaan linera perhatikan contoh berikut :

1. Berikut ini diberikan bentuk beberapa persamaan, tentukan apakah termasuk persamaan linear atau bukan.

a. x + y = 5 (persamaan linear dua variabel)

b. x²+ 6x = -8 (persamaan kuadrat satu variabel)

c. p²+ q²= 13 (persamaan kuadrat dua variabel)

d. 2x + 4y + z = 6 (persamaan linear tiga varibel)

2.  Carilah penyelesaian sistem persamaan x + 2y = 8 dan 2x – y = 6
Jawab ;
x + 2y = 8
2x – y = 6
(i) mengeliminasi variable x
x + 2y = 8 | x 2 | –> 2x + 4y = 16
2x – y = 6   | x 1 | –> 2x -    y = 6              -   ………*
5y = 10
y = 2
masukkan nilai y = 2 ke dalam suatu persamaan
x + 2 y = 8
x + 2. 2 = 8
x + 4 = 8
x = 8 – 4
x = 4
HP = {4, 2}
(ii) mengeliminasi variable y
x + 2y = 8 | x 1 | –> x + 2y =   8
2x – y = 6   | x 2 | –> 4x – 2y = 12              +     ……*
5x = 20
x = 4
masukkan nilai x = 4 ke dalam suatu persamaan
x + 2 y = 8
4 + 2y = 8
2y = 8 – 4
2y = 4
y = 2
4 = 2
HP = {4, 2}

3. Selesaikan soal no 2 menggunakan cara substitusi

Jawab :

Kita ambil persamaan pertama yang akan disubstitusikan yaitu x + 2y = 8
Selanjutnya persamaan tersebut kita ubah menjadi x = 8 – 2y,
Persamaan yang diubah tersebut disubstitusikan ke persamaan
2x – y = 6 menjadi : 2 (8 – 2y) – y = 6 ; (x persamaan kedua menjadi x = 8 – 2y)
16 – 4y – y = 6
16 – 5y = 6
-5y = 6 – 16
-5y = -10
5y = 10
y = 2
masukkan nilai y=2 ke dalam salah satu persamaan :
x + 2y = 8
x + 2. 2. = 8
x + 4 = 8
x = 8 – 4
x = 4
Jadi penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah x = 4 dan y = 2.
Himpunan penyelesaiannya : HP = {4, 2}

4. Harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp. 6000, kemudian apabila membeli 5 buah mangga dan 4 buah jeruk adalah Rp11.500,-
Berapa jumlah uang yang harus dibayar apabila kita akan membeli 4 buah mangga dan 5 . buah jeruk ?
Jawab :
Dalam menyelesaikan persoalan cerita seperti di atas diperlukan penggunaan model       matematika.
Misal: harga 1 buah mangga adalah x dan harga 1 buah jeruk adalah y
Maka model matematika soal tersebut di atas adalah :
2x + 3 y = 6000
5x + 4 y = 11500
Ditanya 4 x + 5 y = ?
Kita eliminasi variable x :
2x + 3 y = 6000     | x 5 | = 10x + 15 y = 30.000
5x + 4 y = 11500   | x 2 | = 10x +   8 y = 23.000    -    ( karena x persamaan 1 dan 2 +)
7y = 7000
y = 1000
masukkan ke dalam suatu persamaan :
2x + 3 y = 6000
2x + 3 . 1000 = 6000
2x + 3000 = 6000
2x   = 6000 – 3000
2x = 3000
x = 1500
didapatkan x = 1500 (harga sebuah mangga) dan y = 1000 (harga sebuah jeruk)
sehingga uang yang harus dibayar untuk membeli 4 buah mangga dan 5 buah jeruk
adalah 4 x + 5 y = 4. 1500 + 5. 1000
= 6000 + 5000 = Rp. 11.000,-

2. Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan linear merupakan kalimat terbuka dalam matematika yang terdiri dari variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan. Bentuk umum dari pertidaksamaan linear dua variabel yaitu :

ax+by>c

ax+by

ax+by≥c

ax+by≤c

dengan a koefisien untuk x, b koefisien dari y dan c konstanta dimana a,b,c anggota bilangan riil dan a≠0,b≠0 .

Suatu penyelesaian dari pertidaksamaan linear biasanya digambarkan dengan grafik, adapun langkah-langkah dalam menggambar grafik pertidaksamaan linear yaitu sebagai berikut :

1. Ubah tanda ketidaksamaan menjadi persamaan

2. Tentukan titik potong koordinat kartesius dengan sumbu x dan sumbu y.

3. Gunakan titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian.

4. Gambarkan grafiknya dan beri arsiran pada daerah penyelesaiannya.

Untuk lebih memahami tentang pertidaksamaan perhatikan beberapa contoh berikut :

contoh 1.

contoh 2.

contoh 3.

Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut untuk x, y anggota bilangan real.

–x + 8y ≤ 80
2x – 4y ≤ 5
2x + y ≥ 12
2x – y ≥ 4
x ≥ 0, y ≥ 0

Penyelesaian :
Ubah pertidaksamaan menjadi bentuk persamaan dan gambarkan pada bidang koordinat
Titik-titik Koordinat

Selanjutnya uji titiknya untuk menentukan daerah penyelesaian. Dapat dengan cara substitusi atau dengan garis bilangan. Pada contoh kali ini menggunakan substitusi misalkan kita pilih titik (0,12)

Setelah titk tersebut disubstitusi menghasilkan pernyataan yang salah, sehingga daerah penyelesaiannya berlawanan dengan daerah yang mengandung titik (0,12).

Dengan cara yang sama untuk persamaan yang lain telah kita peroleh grafik sebagai berikut.
Daerah Penyelesaian 2

Daerah penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah daerah yang terkena seluruh arsiran, yaitu :

Semoga artikel ini dapat bermanfaat, selain materi persamaan dan pertidaksamaan linear ini sebelumnya telah saya berikan materi pertidaksamaan kuadrat. Selamat Belajar dan Semoga Sukses.

Jumat, 29 Oktober 2010

Rahasia Rumus-rumus “Cepat” Matematika

Oleh: Al Jupri

Dulu, ketika saya masih baru menjadi mahasiswa baru tingkat pertama, saya berkenalan dengan salah seorang mahasiswa baru lainnya yang di kemudian hari menjadi teman baik saya. Ketika awal perkenalan, kami pun ngobrol kesana-kemari. Tanya sana-tanya sini. Jawab sana, jawab sini. Hingga ia pun akhirnya bercerita bahwaa nilai tes Matematika Dasar-nya, yaitu salah satu mata pelajaran yang diujikan di UMPTN*, adalah 100 alias benar semua.

Baca selengkapnya »